안녕하세요 정진경님..
우선 님의 질문에 답을 달기 전에 알려주고 싶은 말이 있는데
우선, 영어 소설이나 원문을 읽을 때는 여건이 되면 한글 번역이 있는 것을 기준으로
읽어야 많은 시행착오를 줄일 수 있을 겁니다.
두 번째로, 영어 어휘의 사용 즉 용법(usage,어법)에 익숙해야 하는데 이것을 모를 때마다
물어보면 그것도 시간 냥비죠.
그래서 권위 있는, 많은 예가 있는 사전을 참조하는 버릇을 들여야 합니다.
예를 들어 wish 는 wish your merry Christmas 라 사용하면 틀리고(3형식형태는 틀림)
wish you a merry Christmas 이렇게 4형식의 형태로 사용해야 한다
이와 같은 각각의 단어의 사용법을 용법 또는 어법이라 하는데 이런 것을 사전을 통해서
평생 익혀야 합니다.
마지막으로, 권위있는 문법서 한권 정도는 마스터 하는게 많은 도움이 됩니다.
참고로 문법은 글(말)을 구성하는 공통적인 원리이고
어법(용법)은 각 단어의 구체적인 사용법입니다.

각설하고,

She was anxious to explain to him.
She was anxious to have explained to him.

기본적으로 부정사 to 는 전치사 to를 차용해서 사용한 것으로
200~300년 전에는 부정사 to 가 없었습니다.
그리고 이렇게 없었던 부정사를 만든 것은 당연히
언어의 간략화를 위해서 자연스럽게 생긴 거죠.
즉 절(주어+동사)를 구(동사가 없는 것)로 만들기 위해 (말을 간단하게 하기위해)
만든 것으로 일반적으로 will, can, may, must + 동사원형 등 절의 동사가
동사 아닌놈으로 (간략화된 놈) 으로 변형해서 to + 동사원형 이 된겁니다.
조동사(modal) 은 현재나 미래의 가능성을 나타낸 말로
이 영향으로 부정사 to 도 현재나 미래를 나타내는 것이지요.
특히 will의 영향을 가장 많이 받았죠.
will의 대표적인 의미가 미래 와 의지 이죠.
이 미래와 의지의 개념을 잘 활용하면 많은 다양한 말들을 좀더 맛깔나게 해주죠..
여기서 의지를 부정적으로 보면 고집이 되고 일반적으로 보면 습관이 되는 것이죠.
If you'll notice , most watch advertisements display 10:10.
그래서 위의 문장에서
If you notice (만일 니가 주목해서 보면) 라고 해도 문제 없으나
If you’ll notice
만일 니가 의지를 가지고 주목해서 보면 -> 만일 니가 잘(유심히) 주목해 보면
이렇게 말의 의미를 좀더 생생하게 표현할수도 있죠..

여기서 핵심은 to는 상대적으로 현재 이거나 미래라는 거죠. (상대적 개념이 필수)
근데 문제는 부정사 앞의 말에 따라 현재를 또는 미래를 나타낸다는 거죠.

She seems to be happy. 그녀는 내가보기에(seems to) 행복해. : 행복해 보인다.
seems 으로 인해 to be 는 seems 과 같은 시간(현재)을 나타냅니다.
She seemed to be happy. 그녀는 내가보기에(seemed to) 행복했어. : 행복해 보였다.
seemed 으로 인해 to be 는 seemed 과 같은 시간(과거)을 나타냅니다.

I expect to be back by Monday.
expect 로 인해 to be 는 현재를 기준으로 미래를 나타냅니다.
I decided not to take his advice.
decided 로 인해 not to take 는 과거를 기준으로 미래를 나타냅니다.
(현 시점에서는 not to take 가 과거 일수도 미래 일수도 있음)

She seems to have been happy.
seems를 기준으로 먼저 일어난 것을 표현하고자 have ~ed 형태를 사용합니다.
즉 현재이므로(seems) to have been 은 과거를 나타냅니다.

She seemed to have been happy.
seemed를 기준으로 먼저 일어난 것을 표현하고자 have ~ed 형태를 사용합니다.
즉 과거이므로(seemed) to have been 은 더 과거를 나타냅니다.

정리하면,
동사현재형 <결합> 동사과거형 => 동사현재형 + to have ~ed
동사과거형 <결합> 동사과거완료형 => 동사과거형 + to have ~ed
이런 형태가 됩니다.

여기서 좀더 깊이 들어 가면,
to have ~ed 형태는 본동사(정동사, 위에서는 seem)을 기준으로 무조건
먼저 일어난 것이 아닐 수 있습니다.
동사현재형 <결합> 동사현재완료형 => 동사현재형 + to have ~ed
이런 행태도 가능하다는 거죠.

The local gypsy cultures are known to have played a great role
in developing the performing art.
그 지역의 집시문화가 공연예술발달에 큰 역할을 (지금까지) 해 왔다고 알려져 있다.
이렇게 have played 가 지금도 영향을 주고 있어서 현재완료를 부정사 to와
결합 했을 수도 있고
과거의 큰 역할을 했다고 지금 알려져 있다.
즉, played 가 to 와 결합해서 to have played 가 되었을 수도 있습니다.

그리고 이런 원리는 having ~ed 에서도 동일하게 적용됩니다.

마지막으로,
본동사(정동사)의 의미가 희망,의도,바램등 원하는 내용의 말들이 과거형이고
함께 사용된 부정사가 완료일때는 실현되지 않은 것을 의미 합니다.
He intended to answer her letter soon.
그가 바로(이내) 그녀의 편지에 답하려 했다.(의도했다)
: 답을 했는지 안 했는지의 정보는 없음.
He intended to have answered her letter soon.
: He intended to answer her letter soon, but he didn’t [couldn’t].
: 답을 안했다는 말을 내표함.

따라서,
She was anxious to explain to him.
그녀는 그에게 설명을 하고싶어 했다.
She was anxious to have explained to him.
그녀는 그에게 설명을 하고싶어 했는데.. (못했다)
참고) anxious 염려/걱정하는 ( about, for )
anxious 갈망하는, 하고싶어하는 ( to + 동사원형 , for )

조금이나마 도움이 되었으면 하네요..